Los números naturales

¿Qué son los números naturales?

En matemáticas, un número natural es cualquiera de los números que se usan para contar los elementos de ciertos conjuntos,1​2​ como también en operaciones elementales de cálculo. Son aquellos números naturales los que sirven para contar elementos por lo que son naturales por ejemplo: 6,7,8,9… Por definición convencional se dirá que cualquier elemento del siguiente conjunto, ℕ = {1, 2, 3, 4, …}, es un número natural.2​ En obras más modernas, aparece también como ℕ = {0, 1, 2, 3, 4, …}.3​ De dos números vecinos cualesquiera, el que se encuentra a la derecha se llama siguiente o sucesivo,4​ por lo que el conjunto de los números naturales es ordenado e infinito. El conjunto de todos los números naturales iguales o menores que cierto número natural k , es decir, el conjunto {1,2,k-1,k} se llama segmento de una sucesión natural y se denota|1,k| o bien[k]

 

Operaciones con los números naturales 

Las operaciones matemáticas que se definen en el conjunto de los números naturales son la suma y la multiplicación. La suma y la multiplicación de números naturales son operaciones conmutativas y asociativas, es decir: El orden de los números no altera el resultado (propiedad conmutativa), a + b = b + a, y a × b = b × a. Para sumar —o multiplicar— tres o más números naturales, no hace falta agrupar los números de una manera específica ya que (a + b) + c = a + (b + c) (propiedad asociativa). Esto es lo que da sentido a expresiones como a + b + c. Al construir la operación de multiplicación de números naturales, se puede observar claramente que la adición o suma y la multiplicación son operaciones compatibles, pues la multiplicación sería una adición de cantidades iguales y gracias a esta compatibilidad se puede desarrollar la propiedad distributiva, que se expresa de la forma: a × (b + c) = (a × b) + (a × c) Aparte, estas dos operaciones cumplen con las propiedades de: Clausura de ambas operaciones para todos los números naturales a y b, ya que a + b y a × b son siempre números naturales. Existencia de elementos neutros para ambas operaciones, es decir, para cada número a, a + 0 = a y a × 1 = a. No existencia de divisores de cero para la operación de multiplicación: si a y b son números naturales tales que a × b = 0, entonces a = 0 o b = 0. Propiedades de los números naturales Los números naturales están totalmente ordenados. La relación de orden ≤ se puede redefinir así: a ≤ b si y solo si existe otro número natural c que cumple a + c = b. Este orden es compatible con todas las operaciones aritméticas puesto que si a, b y c son números naturales y a ≤ b, entonces se cumple: a + c ≤ b + c a × c ≤ b × c Una propiedad importante del conjunto de los números naturales es que es un conjunto bien ordenado Para cualquier elemento a de A existe b en A tal que a < b En los números naturales existe el algoritmo de la división. Dados dos números naturales a y b, si b ≠ 0, podemos encontrar otros dos números naturales q y r, denominados cociente y resto respectivamente, tales que: a = (b × q) + r y r < b Los números q y r están unívocamente determinados por a y b. Otras propiedades más complejas de los números naturales, como la distribución de los números primos por ejemplo, son estudiadas por la teoría de números.